一般化最小二乗法と識別問題
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開始行:
[[計量経済学のためのR環境]]
#contents
*一般化最小二乗法 [#rb9cdc44]
[[分散共分散行列>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86...
+観測値が何組あっても、誤差項の分散はいつも定数&ref(idpro...
+異なる観測値の誤差項どうしに相関はない。
これが満たされていないとき、どうしたらいいでしょう。大...
+観測値を変換して、分散共分散行列が&ref(idprob21.png);の...
+分散共分散行列が特定のパターンを持っていると仮定して、分...
[[不均一分散>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%88%E9%...
コクラン=オーカット法による系列相関の処理も、OLSの標準...
これに対して、2の方法を[[一般化最小二乗法(GLS)>http://e...
統計パッケージにGLSが含まれる場合、分散共分散行列(少な...
例えばパネルデータ分析は、GLSとして(分散共分散行列を使...
*説明変数と撹乱項(誤差項)の相関 [#x95b9d44]
[[多重共線性>多重共線性と相関行列]]の項でも触れたように...
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob01.jpg);
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob02.jpg);
という2本の式で表される、同時方程式モデルがあったとしま...
yがzを通じてyを(部分的に)決めているというのは、自分が自...
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob05.jpg);
代わりにこれを推定してやれば、今の問題は起こらないよう...
ところが、まとめた式(誘導型といいます)の誤差項である&re...
誤差項と説明変数の間に相関があるとどう困るのか、簡単に...
ところが誤差項と説明変数の間に相関がないことが、一致性...
こうした、同じ時点で複数の式が同時に成り立つと仮定する...
*2段階最小二乗法 [#l7464c83]
同時方程式バイアスを避けるためによく使われるのは、2SLS(...
そしてzの観測値の代わりに、推定結果を使って
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob01.jpg);
を推定します。この場合、yへのxの影響がzを通した間接的な...
*識別問題 [#h660b089]
需要曲線&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob09.jpg);
供給曲線&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob10.jpg);
であらわされる市場の価格・販売量はどのように観察される...
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob11.jpg);
となります。誤差項があるために、上の式が表す交点の周り...
こうした問題を''識別問題''といいます。この例のように需...
*2段階最小二乗法の実践 [#b4f7bb55]
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob13.jpg);
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob14.jpg);
と変数をひとつずつ追加したモデルを考えてみましょう。例...
ここから先はsystemfitパッケージを使うので、パッケージの...
スクリプトは[[Rサンプル11]]、使用するデータは[[Rサンプ...
主な結果は、次のようなものです。
> dem <- P ~ Q + R
> sup <- P ~ Q + S
> labels <- list( "demand", "supply" )
> system <- list( dem, sup )
> inst <- ~ R + S
> sysols <- systemfit( "OLS", system, labels, inst)
> summary(sysols)
systemfit results
method: OLS
N DF SSR MSE RMSE R2 Adj R2
demand 20 17 0.447212 0.026307 0.162193 0.994075 0.993378
supply 20 17 2.579214 0.151718 0.389511 0.965831 0.961811
The covariance matrix of the residuals
demand supply
demand 0.0263066 -0.0161156
supply -0.0161156 0.1517185
The correlations of the residuals
demand supply
demand 1.000000 -0.255091
supply -0.255091 1.000000
The determinant of the residual covariance matrix: 0.003...
OLS R-squared value of the system: 0.979953
OLS estimates for demand (equation 1 )
Model Formula: P ~ Q + R
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.047874 0.36817 -0.130033 0.898067
Q 0.000212 0.004408 0.048063 0.962226
R -0.509177 0.024064 -21.159309 0 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1...
Residual standard error: 0.162193 on 17 degrees of freedom
Number of observations: 20 Degrees of Freedom: 17
SSR: 0.447212 MSE: 0.026307 Root MSE: 0.162193
Multiple R-Squared: 0.994075 Adjusted R-Squared: 0.993378
OLS estimates for supply (equation 2 )
Model Formula: P ~ Q + S
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 3.818202 0.645832 5.912067 1.7e-05 ***
Q -0.023169 0.008864 -2.613955 0.018148 *
S 2.723121 0.341519 7.973557 0 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1...
Residual standard error: 0.389511 on 17 degrees of freedom
Number of observations: 20 Degrees of Freedom: 17
SSR: 2.579214 MSE: 0.151718 Root MSE: 0.389511
Multiple R-Squared: 0.965831 Adjusted R-Squared: 0.961811
御覧のように、ふたつの式をそれぞれ最小二乗法で推定する...
> sys2sls <- systemfit( "2SLS", system, labels, inst)
> summary(sys2sls)
systemfit results
method: 2SLS
N DF SSR MSE RMSE R2 Adj R2
demand 20 17 56.1935 3.305498 1.818103 0.255559 0.167978
supply 20 17 7.9412 0.467129 0.683469 0.894796 0.882420
The covariance matrix of the residuals
demand supply
demand 3.30550 -1.202963
supply -1.20296 0.467129
The correlations of the residuals
demand supply
demand 1.000000 -0.968089
supply -0.968089 1.000000
The determinant of the residual covariance matrix: 0.096...
OLS R-squared value of the system: 0.575178
2SLS estimates for demand (equation 1 )
Model Formula: P ~ Q + R
Instruments: ~R + S
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -6.887025 29.565603 -0.23294 0.818589
Q 0.203147 0.870104 0.233475 0.818181
R -1.526677 4.363928 -0.34984 0.730755
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1...
Residual standard error: 1.818103 on 17 degrees of freedom
Number of observations: 20 Degrees of Freedom: 17
SSR: 56.193462 MSE: 3.305498 Root MSE: 1.818103
Multiple R-Squared: 0.255559 Adjusted R-Squared: 0.167978
2SLS estimates for supply (equation 2 )
Model Formula: P ~ Q + S
Instruments: ~R + S
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 3.338415 1.153567 2.893993 0.01009 *
Q -0.075862 0.028334 -2.677472 0.015905 *
S 0.933461 1.00306 0.930614 0.365081
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1...
Residual standard error: 0.683469 on 17 degrees of freedom
Number of observations: 20 Degrees of Freedom: 17
SSR: 7.941197 MSE: 0.467129 Root MSE: 0.683469
Multiple R-Squared: 0.894796 Adjusted R-Squared: 0.88242
ひとつめの式の決定係数はどんと下がってしまいました。
終了行:
[[計量経済学のためのR環境]]
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*一般化最小二乗法 [#rb9cdc44]
[[分散共分散行列>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86...
+観測値が何組あっても、誤差項の分散はいつも定数&ref(idpro...
+異なる観測値の誤差項どうしに相関はない。
これが満たされていないとき、どうしたらいいでしょう。大...
+観測値を変換して、分散共分散行列が&ref(idprob21.png);の...
+分散共分散行列が特定のパターンを持っていると仮定して、分...
[[不均一分散>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%88%E9%...
コクラン=オーカット法による系列相関の処理も、OLSの標準...
これに対して、2の方法を[[一般化最小二乗法(GLS)>http://e...
統計パッケージにGLSが含まれる場合、分散共分散行列(少な...
例えばパネルデータ分析は、GLSとして(分散共分散行列を使...
*説明変数と撹乱項(誤差項)の相関 [#x95b9d44]
[[多重共線性>多重共線性と相関行列]]の項でも触れたように...
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob01.jpg);
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob02.jpg);
という2本の式で表される、同時方程式モデルがあったとしま...
yがzを通じてyを(部分的に)決めているというのは、自分が自...
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob05.jpg);
代わりにこれを推定してやれば、今の問題は起こらないよう...
ところが、まとめた式(誘導型といいます)の誤差項である&re...
誤差項と説明変数の間に相関があるとどう困るのか、簡単に...
ところが誤差項と説明変数の間に相関がないことが、一致性...
こうした、同じ時点で複数の式が同時に成り立つと仮定する...
*2段階最小二乗法 [#l7464c83]
同時方程式バイアスを避けるためによく使われるのは、2SLS(...
そしてzの観測値の代わりに、推定結果を使って
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob01.jpg);
を推定します。この場合、yへのxの影響がzを通した間接的な...
*識別問題 [#h660b089]
需要曲線&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob09.jpg);
供給曲線&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob10.jpg);
であらわされる市場の価格・販売量はどのように観察される...
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob11.jpg);
となります。誤差項があるために、上の式が表す交点の周り...
こうした問題を''識別問題''といいます。この例のように需...
*2段階最小二乗法の実践 [#b4f7bb55]
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob13.jpg);
&ref(http://hnami.sub.jp/p/up/idprob14.jpg);
と変数をひとつずつ追加したモデルを考えてみましょう。例...
ここから先はsystemfitパッケージを使うので、パッケージの...
スクリプトは[[Rサンプル11]]、使用するデータは[[Rサンプ...
主な結果は、次のようなものです。
> dem <- P ~ Q + R
> sup <- P ~ Q + S
> labels <- list( "demand", "supply" )
> system <- list( dem, sup )
> inst <- ~ R + S
> sysols <- systemfit( "OLS", system, labels, inst)
> summary(sysols)
systemfit results
method: OLS
N DF SSR MSE RMSE R2 Adj R2
demand 20 17 0.447212 0.026307 0.162193 0.994075 0.993378
supply 20 17 2.579214 0.151718 0.389511 0.965831 0.961811
The covariance matrix of the residuals
demand supply
demand 0.0263066 -0.0161156
supply -0.0161156 0.1517185
The correlations of the residuals
demand supply
demand 1.000000 -0.255091
supply -0.255091 1.000000
The determinant of the residual covariance matrix: 0.003...
OLS R-squared value of the system: 0.979953
OLS estimates for demand (equation 1 )
Model Formula: P ~ Q + R
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.047874 0.36817 -0.130033 0.898067
Q 0.000212 0.004408 0.048063 0.962226
R -0.509177 0.024064 -21.159309 0 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1...
Residual standard error: 0.162193 on 17 degrees of freedom
Number of observations: 20 Degrees of Freedom: 17
SSR: 0.447212 MSE: 0.026307 Root MSE: 0.162193
Multiple R-Squared: 0.994075 Adjusted R-Squared: 0.993378
OLS estimates for supply (equation 2 )
Model Formula: P ~ Q + S
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 3.818202 0.645832 5.912067 1.7e-05 ***
Q -0.023169 0.008864 -2.613955 0.018148 *
S 2.723121 0.341519 7.973557 0 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1...
Residual standard error: 0.389511 on 17 degrees of freedom
Number of observations: 20 Degrees of Freedom: 17
SSR: 2.579214 MSE: 0.151718 Root MSE: 0.389511
Multiple R-Squared: 0.965831 Adjusted R-Squared: 0.961811
御覧のように、ふたつの式をそれぞれ最小二乗法で推定する...
> sys2sls <- systemfit( "2SLS", system, labels, inst)
> summary(sys2sls)
systemfit results
method: 2SLS
N DF SSR MSE RMSE R2 Adj R2
demand 20 17 56.1935 3.305498 1.818103 0.255559 0.167978
supply 20 17 7.9412 0.467129 0.683469 0.894796 0.882420
The covariance matrix of the residuals
demand supply
demand 3.30550 -1.202963
supply -1.20296 0.467129
The correlations of the residuals
demand supply
demand 1.000000 -0.968089
supply -0.968089 1.000000
The determinant of the residual covariance matrix: 0.096...
OLS R-squared value of the system: 0.575178
2SLS estimates for demand (equation 1 )
Model Formula: P ~ Q + R
Instruments: ~R + S
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -6.887025 29.565603 -0.23294 0.818589
Q 0.203147 0.870104 0.233475 0.818181
R -1.526677 4.363928 -0.34984 0.730755
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1...
Residual standard error: 1.818103 on 17 degrees of freedom
Number of observations: 20 Degrees of Freedom: 17
SSR: 56.193462 MSE: 3.305498 Root MSE: 1.818103
Multiple R-Squared: 0.255559 Adjusted R-Squared: 0.167978
2SLS estimates for supply (equation 2 )
Model Formula: P ~ Q + S
Instruments: ~R + S
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 3.338415 1.153567 2.893993 0.01009 *
Q -0.075862 0.028334 -2.677472 0.015905 *
S 0.933461 1.00306 0.930614 0.365081
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1...
Residual standard error: 0.683469 on 17 degrees of freedom
Number of observations: 20 Degrees of Freedom: 17
SSR: 7.941197 MSE: 0.467129 Root MSE: 0.683469
Multiple R-Squared: 0.894796 Adjusted R-Squared: 0.88242
ひとつめの式の決定係数はどんと下がってしまいました。
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![[PukiWiki]](image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
