ばらつき、残差、有意水準

計量経済学のためのR環境

データと回帰曲線 †

　回帰分析で推定された曲線を回帰曲線といいます。単回帰出力結果の読み方の例でいうと、

y = -6.0930 + 2.6227x1

　という式がそれです。

　与えたデータと回帰曲線を同じグラフに表して見ましょう。

　これを描くスクリプトはRサンプル4にあります。

dset <- read.csv("d/sample3.csv", header=TRUE)
attach (dset)
eq1 <- lm(y ~ x1)
summary(eq1)
plot(x1,y)

縦軸にx1,横軸にyをとって散布図を描く

par(new=T)

グラフを重ね合わせるため、前のグラフを消さずに次を描く(注 この行はなくても、グラフは重ねて出力されることが分かりました)

abline(-6.0930,2.6227)

y = -6.0930 + 2.6227x1の直線を引く

　なお、ablineの引数をeq1の結果から直接取り出すこともできます。スクリプト全体を掲げますが、違っているのは最後の行だけです。

dset <- read.csv("d/sample3.csv", header=TRUE)
attach (dset)
eq1 <- lm(y ~ x1)
names(eq1)
summary(eq1)
plot(x1,y)
par(new=T)
abline(eq1$coefficients[1],eq1$coefficients[2])

残差 †

　サンプル4を実行した後、R Consoleというウインドウで

> z = residuals.lm(eq1)
> z

　と入力してみてください。単に変数名だけ入力すると、その変数の中身が表示されます。

        1         2         3         4         5         6 
-1.041073  2.060774 -1.673263  1.377661 -2.794107  2.070009 

　と表示されましたか? データと回帰曲線の(縦方向の)差が残差で、lmの結果につけた名前(eq1 <- lm(y ~ x1)という行があるのがわかりますね?)を使って、上のように取り出すことができます。

t値、P値は何を検定しているか †

　もしx1の係数が0だったら、

y = -6.0930

　という水平線になるはずです。ablineを使って水平線を引くこともできますから、これを同じグラフに表示してみます。ただし水平線があまり端にあると見えにくいので、yの上限15、下限-10を指定します(Rサンプル5)。関係する行はこれ。

plot(x1,y,ylim=c(-10,15))

　出てくるグラフはこんなもののはずです。

　もしyとx1の関係が本当はy = -6.0930だとしたら、ここにあるようなデータは出てきそうにありません。x1の係数に関するt値やP値は、そのことを判断するものなのです。

　sample5はこんなデータです。x1はsample3と同じですが、yは変化の幅は小さく、しかしはっきり右上がりに作ってあります。

x1    y
1.5 -0.1
2.3  0.3
3.8  0.1
4.2  0.4
5.6  0.6
6.3  0.5

　サンプル5で、sample3.csvのかわりにsample5.csvを読み込むように1字書き換えて実行すると、

>Coefficients:
>            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
>(Intercept) -0.16321    0.16886  -0.967   0.3885  
>x1           0.11727    0.03932   2.983   0.0406 *

　という結果が出てきます。x1の係数は5%有意と判断されています。ついでに水平線もy=-0.16321に置き換えてグラフを出させると、

　おっと。グラフの上限下限がさっきのままでした。plot(x1,y,ylim=c(-0.2,0.8))に変更してみましょう(Rサンプル5)。

　同じ数字なのに、ふたつのグラフは全然違う印象を与えますね。直観に頼る危険の表れです。

　0と0.11727はかなり近いので、x1の係数が0であるという仮説は棄却しにくいのです。しかし残差が小さく、式の当てはまりが非常に良いので、この分散でx1の係数が0だと、こんなにはっきりした右上がりの傾向は出にくいでしょう。そのふたつが影響して、5%有意という少し曖昧な結果が出ています。